LÊ QUANG XE

LUYỆN THI

d1
=
d2
1z
+ c 2z = d 3
1y
+c z =
+b
 1x + b 2y + c 3
a

b 3y
a 2x
x+

 a3

TOÁN
TOÁN

CHUYÊN ĐỀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

Muåc luåc
Phần I

ĐẠI SỐ

Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

2

Bài 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
2
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
B Một số dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
| Dạng 1. Giải hệ phương trình bậc nhất bằng ba ẩn bằng phương pháp Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 3
| Dạng 2. Tìm nghiệm của hệ phương

Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn – Lê Quang Xe

TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG
______________________________________________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH
(KẾT HỢP 3 BỘ SÁCH GIÁO KHOA)
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH
 CƠ BẢN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH PHÂN
THỨC (P1 – P6)
 CƠ BẢN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (P1 – P6)
 CƠ BẢN TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH (P1 – P6)
 VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (P1 – P6)
 VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO (P1 – P6)
 VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (P1 – P6)
 VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (P1 – P6)
 VẬN DỤNG CAO TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH (P1 – P6)

THÂN TẶNG TOÀN THỂ QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TRÊN TOÀN QUỐC
CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK)
GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL); TEL 0333275320
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH – THÁNG 10/2022

1

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH PHÂN THỨC LỚP 10 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CƠ BẢN P1)

_______________________________

Hệ thống bài tập trắc nghiệm phương trình

ĐỊNH

VIÈTE. Cho phương trình
ax + bx + cx + d = 0 ( a  0 ) , có các nghiệm là
3

LÝ

2

Theo đề bài (*) có hai nghiệm xM , xN trong đó

b

 x1 + x2 + x3 = − a

c

 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 =
a


d
 x1 x2 x3 = − a


dụ

1.

Cho

phương

nghiệm xM là nghiệm kép (do M là tiếp điểm).
Theo định lý Viète thì
xM + xM + xN = 3  xN = 3 − 2 xM
dẫn đến: P = 5xM2 + (3 − 2xM )

2

trình

x3 − 6mx + 5 − 5m2 = 0 với m là tham số. Tìm tất
cả các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm
phân biệt lập thành cấp số cộng.

Lời giải. Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba
nghiệm phân biệt là x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập
thành cấp số cộng, suy ra: x1 + x3 = 2 x2 (1).
Theo định lý Viète thì
Từ (1) và (2) được

x1 + x2 + x3 = 0 (2).
x2 = 0. Thay x = 0 vào

phương trình: 0 − 6m.0 + 5 − 5m = 0  m = 1 .
Điều kiện đủ:  Với m = 1 phương trình là:
3

2

x = 0
x3 − 6 x = 0  
(thỏa mãn).
x =  6
 Với m = −1 phương trình là:
x3 + 6 x = 0  x = 0 (không thỏa mãn).
Kết luận: m = 1 .
Thí dụ 2. Gọi M ( xM ; yM ) là một điể

Ứng dụng định lý Viète trong phương trình bậc ba – Nguyễn Thanh Hải

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 10 – Năm học: 2020-2021

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Chương 3

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
A. Phương pháp giải
 Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f  x , g  x  cùng
được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)
 Điều kiện để biểu thức

f  x  xác định là f  x   0
1
xác định là f  x   0
f  x
1
f  x

xác định là f  x   0

B. Bài tập tự luận
Câu 1.

Tìm điều kiện xác định của phương trình x 

5
1
x 4
2

.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
Câu 2.

Tìm điều kiện xác định của phương trìn

Chuyên đề phương trình và hệ phương trình – Nguyễn Bảo Vương

3.PHƯƠNG PHÁP XÉT CHI  U BI  N THIÊN HÀM S   Gi  i:     u ki  n :   1 x      .   Phương tr          4 4  1   1   1   2 x   x   y   y                      .    t   4   1,   0 u   x   u          4   4  1   1   2 x   u   x   u                     Khi đó, phương tr    (1) tr    thành :      4   4  2   2 3 u   u   y   y               Xét   phương tr    (2) :       2   2  2   1   6   1   0 x   y   x   y   y                  Xem x là    n, y là tham s  , ta có :   4   y   Phương tr   m   0 y     Xét hàm s              4   2,   0; f   t   t   t   t                          2  4  2  '   1   0,   0;  2  t  f   t   t  t                  Suy ra hàm s    liên t  c và đ  ng bi  n trên       0;     T       phương tr          4  3   1 u   y   x   y                .  4   1 y   x              4   1 4 x   y         Th    (4) vào   phương tr    (2) ta đư  c :                 2 4   4   2  1   2   1   1   6   1   0 y   y   y   y   y                        8   5   2  2   4   0 y   y   y   y                        6   5   4   3   2  1   3   3   3   4   0 y   y   y   y   y   y   y   y                           Bài toán 7(A      2013) .             4 4  2   2  1   1   2   (1)  2   1   6   1   0   2  x   x   y   y  x   x   y   y   y                                           0   1  1   0,  y   x  y   x   loai                          V  y nghi  m c  a h    phương tr            1; 0  Gi  i:    u ki  n   :   1  1  x  y            .   Xét hàm s              2   1,   1; f   t   t   t   t                          1  '   2   0,   1;  2   1  f   t   t   t  t                   .   Suy ra hàm s      ng bi  n trên       1;     T       phương tr        2   x   y       .      1   2   1   4 x   x              2   1   4 x   x          3   2   4   0 x   x             2 x   y         V  y h    phương tr   m       2; 2   .  Gi  i:     u ki  n :   0   ,   1 x y      L  y   phương tr    (1) tr    phương tr    (2) v    v  i v  , ta đư  c :       2 2   1 1   y x  x   y            .   Xét hàm s               2  1   ,   0;1  t  f   t   t  t                   2   2  1  '   0,   0;1  1  f   t   t  t   t              Suy ra hàm s    liên t  c và ngh  ch bi  n trên [0; 1]  Bài toán 11 .            2   2  1   1   4   1  1   +   1   2  x   y   y   x  x   x   y   y                                 Bài toán 2 .       0   (1)  3   2   1   2  x   y   x   y  x   y   x   y                               

Bài tập sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình

Tất cả vì học sinh thân yêu  Facebook cá nhân   : https://www.facebook.com/quang.manngoc  1 CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔITất cả vì học sinh thân yêu  Facebook cá nhân   : https://www.facebook.com/quang.manngoc  2 CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI  GIẢI HPT – PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài 1:   Giải hệ phương trình 10   6   5   4 2 2   2 5   2   1   6  x   x   y   x y  x   y                             (   , x y         )  Bài giải:     1 2   1   0   2  y   y            - Xét x=0, từ pt đầu suy ra y=0, thay x=y=0 vào pt thứ hai không thỏa mãn (loại) -   Xét   0 x      , chia 2 vế của pt đầu cho   5   0 x      , ta được 5 5   2   2  y   y  x   x   x   x                                          (1) Xét hàm số         5   2 , f   t   t   t   t             . Ta có       '   4 5   2   0, f   t   t   t                . Vậy hàm số         5   2 f   t   t   t             . Do đó (1)   2 y x   y   x x              . Thay vào pt thứ 2 của hệ ta được:   5   2   1   6 y   y             (2) Xét hàm số   1 (   )   5   2   1,   2  g y   y   y   y                   . Ta có   '   1   1   1 ( )   0,   2 2   5   2   1  g   y   y y   y                      . Vậy g(y) đồng biến trên khoảng   1 ; 2       -               . Mà g(4)=6 nên (2)   4 y    

Tuyển tập hệ phương trình – Mẫn Ngọc Quang

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  TRỊNH HỒNG UYÊN  MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ  LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC  Chuyên ngành:   PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP  Mã số :   60.46.40 Người hướng dẫn khoa học :  GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU  THÁI NGUYÊN - NĂM 2011  1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên   http://www.lrc-tnu.edu.vn1  Mục lục  Mở đầu   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3  Chương 1. Phương pháp giải phương trình vô tỷ . . . . . . . . . .   5  1.1. Phương pháp hữu tỷ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5 1.2. Phương pháp ứng dụng các tính chất của hàm số . . . . . . . . . .   24 1.3. Phương pháp đưa về hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   26 1.4. Phương trình giải bằng phương pháp so sánh . . . . . . . . . . . . . . .   32  Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   40  2.1. Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . .   40 2.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   41 2.3. Sử dụng định lí Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   42 2.4. Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . .   43 2.5. Sử dụng phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   44  Chương 3. Một số cách xây dựng phương trình vô tỷ . . . . .   48  3.1. Xây dựng phương trình vô tỷ từ các phương trình đã biết cách giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   48 3.2. Xây dựng phương trình vô tỷ từ hệ phương trình. . . . . . . . . . .   52 3.3. Dùng hằng đẳng thức để xây dựng các phương trình vô tỷ . .   53 3.4. Xây dựng phương trình vô tỷ dựa theo hàm đơn điệu. . . . . . .   55 3.5. Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   58 3.6. Xây dựng phương trình vô tỷ từ phép "đặt ẩn phụ không toàn phần". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   60 3.7. Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào tính chất vectơ. . . . . . .   60 3.8. Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào bất đẳng thức . . . . . . . .   61 3.9. Xây dựng phương trình vô tỷ bằng phương pháp hình học . .   65  Kết luận   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   68  2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên   http://www.lrc-tnu.edu.vn

Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ – Trịnh Hồng Uyên

Fanpage:   Thầ y Duy Thành      Tiến sĩ Toán  Chuyên đề   1 . Phƣơng pháp miề n giá tr    gi  i h    phƣơng trình 4   2 2   2  697   (1) 81 3   4   4   0   (2)  x   y x   y   xy   x   y                                Coi (2)   là phương trình bậ c hai    n x   : 2   2  (   3)   4   4   0 x   y   x   y   y                  Phương trình có nghiệ m 0  2   2 2   2 2  (   3)   4(   4   4)   0 6   9   4   16   16   0 3   10   7   0 7 1   3  y   y   y y   y   y   y y   y y                                                       BÍ KÍP GI  I H    PHƢƠNG TRÌNH CH    TRONG 10 PHÚT  -   Khi máy tính casio bó tay -   Khi các k    năng phân tích nhân tử      phương trình tích vô hiệ u hóa     Các em h  c sinh s    ph  i x    lý   th    nào ? Hãy áp d  ng nh  ng phương  pháp c  c h  u ích sau đây  1.   D  u hi  u nh  n bi  t:     Trƣ  ng h  p 1: H    có 1 trong 2 phương trình là b   , x y   . Cách gi    Coi phương trình là b     x   , gi  0           . y  Coi phương trình là b     y   , gi  0           . x  Dùng đi    , x y             Trƣ  ng h  p 2:   H    có 2 phương trình cùng là b   x   (ho  b   y   ). Cách gi   i phương trình (1), coi x   là     0           . y  V  i phương trình (2), coi x   là     0           . y  So sánh đi         2 phương trình và rút ra k    Ví dụ 1: Giải hệ phương trìnhFanpage:   Thầ y Duy Thành      Tiến sĩ Toán  Coi (2) là phương trình bậ c hai    n y   : 2   2  (   4)   3   4   0 y   x   y   x   x                  Phương trình có nghiệ m 0  2   2 2   2 2  (   4)   4(   3   4)   0 8   16   4   12   16   0 3   4   0 4 0   3  x   x   x x   x   x   x x   x x                                                   7   4 1,   ,   0, 3   3  y   x                                     thì 4   2 4   2   4   7   697 3   3   81  x   y                                                VT(1)    VP(1), do đó  VT(1)=VP(1) khi 4   7 , 3   3  x   y       . V  y h    phương trình có nghiệ m duy nh  t 4 7 , 3 3                .  Ví d    2: Gi  i h    phƣơng trình 2   2 2   2  7 (2   1)(2   1)   (1) 2 7   6   14   0   (2)  x   y   xy x   y   xy   x   y                                   Coi (2) là phương trình bậ c hai    n x   : 2   2  (   7)   6   14   0 x   y   x   y   y                  Phương trình có nghiệ m 0  2   2 2  14   49   4   24   56   0 3   10   7   0 7 1   3  y   y   y   y y   y y                                       Coi (2) là phương trình bậ c hai    n y   : 2   2  (   6)   7   14   0 y   x   y   x   x                  Phương trình có nghiệ m 0  2   2 2  12   36   4   28   56   0 3   16   20   0 10 2   3  x   x   x   x x   x x                                      0 x   y      không là nghi  m c  a h  .

Bí kíp giải hệ phương trình chỉ trong 10 phút – Đỗ Duy Thành

ThS. Nguy    - GV   Chuyên Quang Trung   - BP   Page 1  ThS. Nguy  n Văn Hoàng (0987698877)  GV Trư  ng THPT Chuyên Quang Trung  Tài liệu dành cho các bạn đã biết cách nhẩ m nghi  m tri    b   tr  c v  i s  , v  i bi  n ...   và mong muốn tìm kiếm thêm kinh nghiệ m trong vi  c x    lý   phương trình còn lạ i sau khi tr  c.  PH  N 1. TINH TH  N TR  M C  N N  M  Trước tiên, theo tôi cầ n n  m tinh th  n sau:     Khi nh  n th  c hi   n tr  c x    lý phương trình còn lạ i sau khi tr  c   ta không đị nh  hướng trước đượ c.     M  t s    kĩ thuậ t x    lý phương trình còn lại có thể   là:   B    b    bi  u th  c  không âm, làm chặ t mi  n nghi  ng t    (thêm bớ t max min c  a bi  u th  c), b  ng th  c,   xét hàm số   tìm GTLN và GTNN , s    d  ng h    t  m, chia kho  ng.   Có thể   có thêm một vài kĩ thuậ t n    dùng.   M   thu  t l  i th    trong t  t nhi  i k  t h  i nhau.  Vi  c s    d  c m  i.  Thông thườ ng, x    lý phương trình còn lại là chứng minh vô nghiệ m b  ng    : VT < 0, VT > 0 ho       ba    m c  n n  m:  Th    nh  t : Làm cho miề n nghi      Th    hai : Tr  c nghi  c v  i s    cũng đượ c, tr  c v  i bi  c, mi  c ch  m d    dàng.  Th    ba : Có thể   có nhiều cách chứng minh vô nghiệ m cho m  c m  a ch  n.  Sau đây là   ba   ví dụ   minh h  a cho ba    m c  n n  m      trên.  Ví dụ   m     u 1:   Gi  2   2  2   4   5   2   1 x   x   x   x                   .  Cách 1.   ( Tr  c nghi  i s    và không quan tâm việc làm chặ t mi  n nghi  m ) Nh  n th  m c   PT 2   2  2   4   5   2   1 x   x   x   x                      .ThS. Nguy    - GV   Chuyên Quang Trung   - BP   Page 2           2   2 2   2 2   2 2   2  2   4   2   5   3   2   4 2   4   2   4 2   4   2   5   3 2 2   2 (*) 2   4   2   5   3  x   x   x   x x   x   x   x x   x   x x x   x x   x   x                                                                                     2   2  2 (*)   2 (   1)   3   2   5   3  x   x x   x                        Ta s    ch  ng minh m  i h  ng t       v    trái đề u nh    hơn 1 . Th  t v  y: 2 2   1   2   (   1)   3 (   1)   3   2  x   x   x x                            2  (   1)   3   |   1|   1   2 x   x   x   x                        .  Tương tự , 2 2  2   1   1   5 5   3  x   x   x x                             Bình luậ n.   Vi  ng t    và chứ ng minh m  i h  ng t     u nh    hơn 1 không phả i em h  c  sinh nào cũng làm đượ c.  Cách 2 .   ( Tr  c nghi  i bi  t mi  n nghi  m )  T    phương trình ta có đánh giá: 3   5   1 2   1   3   5   1 2  x   x   x                           . Nh  n th  m c            2   2 2   2  2   4   5   (   1)   0 1   1 (4   2 )   0 2   4   5   (   1)  PT   x   x   x   x   x x   x   x   x   x   x                                                                      V  i 1 x      thì   bi  u th  c trong ngo  , v   Bình luậ n:   Làm chặ t mi  n nghi  m + tr  c v  i bi  n   thì lờ i gi    Nhi  u b  n ch    làm  ch  n 1 2  x      thì vẫn khó khăn cho việc đánh giá.

Một số phương pháp xử lý phương trình sau khi trục căn – Nguyễn Văn Hoàng

Ph  ng trình c  n th  c l  p 10   Ths. Lê V  n    oàn  "C  n cù bù thông minh............"   Page   -   1   -  D D D Da a a a    ng ng ng ng 1 1 1 1. . . .   Ph Ph Ph Ph     ng tri ng tri ng tri ng tri    nh c nh c nh c nh c     n c n c n c n c       ba ba ba ba    n n n n                2  B   0  A   B   A   B         =       =     .      B   0  A   B   A   B        =       =    . Ph  ng pháp t  ng quát : (n  u không thu  c hai d  ng trên)     B  c 1.    t    i  u ki  n cho c  n có ngh  a.     B  c 2. Chuy  n v    sao cho hai v    không âm.     B  c 3. Bình ph  ng hai v        a v    m  t trong các d  ng trên.  BA BA BA BA    I TÂ I TÂ I TÂ I TÂ    P A P A P A P A    P DU P DU P DU P DU    NG NG NG NG  Bài 1. Bài 1. Bài 1. Bài 1.   Gi  i các ph  ng trình sau  a/   .   b/   . c/   .   d/   . e/   .   f/   . g/   .   h/   . i/   x   2x   7   4    +   =   .   j/   x   x   1   13 +      =   . k/   x   x   1   3       =   .   l/   2  x   3x   1   2x   7       =      . m/   2  x   3x   3x   1 +   =      .   n/   2  x   9x   1   x   2    +   =      . o/   .   p/   . q/   .   r/   . s/   .   t/   . u/   .   v/   . x/   .   y/   .  Bài 2. Bài 2. Bài 2. Bài 2.   Gi  i các ph  ng trình  a/   2  x   x   7   7 +   +   =   .   b/   2  x   4x   3   2x   5    +      =      . c/   16x   17   8x   23 +   =      .   d/   2  x   4x   2   2x    +   +   =   . e/   2  x   6x   6   2x   1    +   =      .   f/   2  x   1   x   1    =   +   . g/   2  4   x   x   2    =   +   .   h/   2  4   x   x   2    =   +   .  Bài 3. Bài 3. Bài 3. Bài 3.   Gi  i các ph  ng trình sau  a/   .   b/   2  x   3x   2x   1    =      . c/   2   2  2x   2x   4   x   x   2    +   =      +   .   d/   .  Bài 4. Bài 4. Bài 4. Bài 4.   Gi  i các ph  ng trình sau  2x   3   x   3    =      5x   10   8   x +   =     x   2x   5   4       =   2  x   x   12   8   x +      =     x   2   4   x    =      2  3x   9x   1   x   2    +   =     2  3x   9x   1   x   2    +   =      2  x   3x   10   x   2       =     2x   2x   1   7       =   3   x   3x   5    =     x   4x   3   2       =   2  x   1   x   1    =     2  x   2   x   4x   3    =      +   2  x   3x   2   2x   1    +   =     2  x   4x   3   2x   5    +      =      2  5   x   x   1    =     2  3x   5x   1   1   4x +   +   +   =   2   2  x   2x   1   x   2x   1    +   =      +  2  x   2x   4   2   x +   +   =     2  x   3x   2   x   3       =   Ths. Lê V  n    oàn   Ph  ng trình c  n th  c l  p 10  Page   -   2   -   "All the flower of tomorrow are in the seeks of today......"  a/   2x   1   2   x   3 +   =   +      .   b/   3x   4   x   3   3 +         =   . c/   x   3   x   2   5       +   =   .   d/   2x   1   4   x   3 +   =         . e/   5x   1   3x   2   2x   2    =      +   +   .   f/   3x   1   4x   3   5x   4 +         =   +   . g/   .   h/   . i/   .   j/   . k/   .   l/   . m/   .   n/   . o/   .   p/   . q/   .   r/   . s/   .   t/   . u/   .   v/   . x/   .   y/   .  Bài 5. Bài 5. Bài 5. Bài 5.   Gi  i các ph  ng trình sau  a/   1   x   1   6   x +      =      .   b/   5x   1   3x   2   x   1   0                =   . c/   x   x   1   x   2 +   +   =   +   .   d/   3x   1   8   x   1 +   =      +   . e/   3x   3   5   x   2x   4          =      .   f/   x   9   5   2x   4 +   =      +   .  D D D Da a a a    ng ng ng ng 2 2 2 2. . . .   Ph Ph Ph Ph     ng tri ng tri ng tri ng tri    nh c nh c nh c nh c     n n n n s s s s        d d d du u u u    ng ng ng ng          t t t t          n n n n phu phu phu phu                    Lo  i 1 .   .        Lo  i 2 .   .    t   (   )   (   ) t   f x   g x =   +   .        Lo  i 3 .    t    n ph     a v    h    ph  ng trình :   .      t   v  i   .      a ph  ng trình trên v    h    ph  ng trình v  i hai    n là u và v. Ta có th    gi  i d  ng t  ng quát d  ng :   (   )   (   )   (   ) n   m f x   g x   a,   a   const +   =   =   .  x   1   x   1   1 +         =   3x   7   x   1   2 +      +   =  2   2  x   9   x   7   2 +         =   2   2  3x   5x   8   3x   5x   1   1 +   +      +   +   =  2x   3   2x   2   1 +   +   +   =   x   4   2x   6   1 +         =  3x   7   x   1   2 +      +   =   11   x   x   1   2          =  2   2  x   9   x   7   2 +      +   =   x   x   5   5 +      =  3x   5   2x   3   x   2    +   +   =   +   x   2   x   1   2x   3    +      =     x   3   7   x   2x   8 +         =      2   x   7   x   3   2x    =              5x   1   3x   2   2x   1    =            5x   1   x   1   2x   4          =     x   2   2x   3   3x   5 +         =      x   4   1   x   1   2x +         =     ( )   ( )   (   )  2  t   f x   ,   t   0  af x   b   x   c   0   at   bt   c   0      =      +   +   =       +   +   =     (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) f x   g x   f x .g x   h x +   +   =  (   )   (   )   (   ) f x   g x   h x +   =  (   )   (   ) u   f x ,   v   g x =   =   u, v   0 

Bài tập phương trình chứa căn – Lê Văn Đoàn

Trung Tâm Luyện Thi Đại H   Chương III  P hương trình   và Hệ Phương Trình  1  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  3   PHƯƠNG TRÌNH      H    PHƯƠNG TRÌNH  A      L Ý   THUY    T  1. Đ  nh nghĩa.  Cho hai hàm s      y   f   x    và     y   g   x    có t  p xác đ  nh l  n lư  t là f D   và g D   .     t f   g D   D   D       .  M  nh đ    ch  a bi  n           "   " f   x   g x      c g  i là  phương trình m  t    n . x    c g  i là   n s    (hay   n )   và D   g  i là t  p xác đ  nh c  a phương trình. 0 x   D   g  i là m  t  nghi  m   c  a   phương trình           f   x   g x    n  u           0   0 "   " f   x   g x    là m  nh đ     Chú ý:  Các nghiệm của phương trình           f   x   g x    là các hoành độ giao điểm   của hai        y   f   x   và     y   g   x    .  2. Đi  u ki  n c  a m  t phương trình  Khi gi  i phương trình  1   , ta c  n lưu ý v  i đi  u ki  n đ  i v  i    n s  x         f   x   và     g   x   có nghĩa  (t  c là m  i phép toán đ  u   th  c hi  n đư  c). Ta cũng nói đó là đi  u ki  n xác đ  nh c  a phương trình  (hay g  i t  t là đi  u ki  n c  a phương trình).  3. Phương trình nhi  u    n  Ngoài các phương trình m  t    n, ta còn g  p nh  ng phương trình có nhi  u    n s  , ch  ng h  n       2 2   2   2  3   2   2   8,   2 4   2   3   2   .   3  x   y   x   xy x   xy   z   z   xz   y                          Phương trình     2   là phương trình hai    n ( x   và y   ), còn  3   là phương trình ba    n ( , x y   và z   ).  Khi 2,   1 x   y       thì hai v    c  a phương trình     2   có giá tr    b  ng nhau, ta nói c  p           ;   2;1 x y      là  m  t nghi  m c  a phương trình     2 .  Tương t  , b    ba s            ;   ;   1;1; 2 x y z      là m  t nghi  m c  a phư   3 .  4. Phương trình ch  a tham s   Trong m  t phương trình (m  t ho  c nhi  u    n), ngoài các ch        n s    còn có th    có các  ch    khác đư  c xem như nh  ng h  ng s    và đư  c g  i là   tham s  .  5 . Phương trình tương đương, phươ ng trình h    qu  .  5 .1.   Phương trình tương đương:  Hai phương trình           1   1 f   x   g   x    và           2   2 f   x   g   x      c g  i là tương đương n  u chúng có cùng  t  p nghi  m.  Kí hi  u   là                       1   1   2   2 f   x   g   x   f   x   g   x          .  Nhận xét:   Phép biến đổi không làm thay     phép biến đổi  tương đương .     Ví dụ 1 .   Tìm m    .  a).         2  1   0   1 x         và           2   2   1   0   2 ax   a   x   a            b).  2   9   0   1 x         và                 2  2   5   3   1   0   2 x   m   x   m               L  i gi  i  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............   B À   I 1.     I C  NG V    PH  NG TR  NHTrung Tâm Luyện Thi     Chương III  P hương trình   và Hệ Phương Trình  2  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  5 .2.   Phương trình h    qu  :    nh nghĩa:   N  u m  i nghi  m c  a phương trình           1   1 f   x   g   x      u là nghi  m c  a phương trình           2   2 f   x   g   x   thì phương trình           2   2 f   x   g   x      c g  i là phương trình h    qu    c  a phương  trình           1   1   . f   x   g   x   Kí hi  u   là                       1   1   2   2 f   x   g   x   f   x   g   x         Nh  n xét:   p hương trình h    qu    có th    có thêm nghi  m không ph  i là n ghi  m c  a phương trình  ban đ  u. Ta g  i đó là   nghi  m ngo  i lai.     Ví dụ 2.   Giải các phương trình sau 2  1   5 1   3   6 x   x   x              L  i gi  i  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  5 .3.   Các đ  nh lý:    nh lý 1:   Cho phương trình           f   x   g x    có t  p x   nh D   ;     y   h x    là hàm s    xác đ  nh   trên D  . Khi đó trên D   , phương trình đã cho tương đương v  i phương trình sau                       f   x   h x   g x   h x                              .   . f   x   h x   g x   h x   n  u       0 h x      v  i m  i x   D     nh lý 2:   Khi bình phương hai v    c  a m  t phương trình, ta đư  c phương trình h    qu    c  a  phương trình đã cho.                       2   2  f   x   g x   f   x   g   x          .  Lưu ý:   Khi giải phương trình ta cần chú ý

Bài tập phương trình và hệ phương trình – Diệp Tuân

CHINH PH  C OLYMPIC TOÁN  T  U TOÁN H  C  V      P   L  I GI  I THI  U  Trước năm 2017 phương trình hay hệ   phương trình đề u là các v    khá quen thu  c và  thườ ng xuyên xu  t hi  n trong k    thi đạ i h  c, THPT Qu  c Gia hay các k    thi h  c sinh gi  i v    thi th    thi h  c sinh gi  i hay th  o lu  n trên nh  ng di  c dù t    năm 2017 trở      này tuy không còn gi     c s  c  nóng như trướ c n  n gi    m  t ph  n quan tr   thông và cũng là mộ t ph  n không th    thi  u trong các k    thi h  c sinh gi  i, Olympic. Có th   th  y v  i m    quan tr  ng c  t nhi  u tác gi     ng cu  n sách c  a mình nói v    v    này kèm v  i r  t nhi  u d  ng toán có liên quan, h  u h  t t  t c    các d  c vi  i r  t c    th  . Tuy nhiên v  i mình      m   t  ng tr  i qua nh  c ph    thông      thì mình có th    th  y r   t m  nh và hi  u qu       x    lý các bài toán ph  c t   c các anh ch  , th    vi  t thành m  t s    chuyên đề   riêng v    phương pháp này nhưng bả n thân mình th     u h  c s    sâu và chưa có  nhi  u s    th  ng nh  i b  n c  ng vi  t m  t cu    có th    t  ng h  p, sáng t  o các   bài toán hay và khó hơn nhằm đưa  n cho b  c m  i trong vi  c gi   vô t  . Trong cu  n sách này m  ng t  ng là các b  n h  c sinh l    phương trình và các bạn đang ôn thi họ c sinh gi  i nên s   có m  t s    ph  n có s    tr    giúp c  a máy tính c    cho các b  n tham kh  o. Cu  n sách   c vi  t nên không th    ch    có mình cá nhân mình mà hoàn thành đượ c mà là s    c    g  ng c  i b  n c  a mình là: 1.   Nguy  n Mai Hoàng Anh      L  p 10A1      THPT Th  c hành Cao N guyên Đak Lak  2.   Nguy  ng Phát      THPT Marie Curie Bên c  i l  i c  i các th  y cô, các anh ch      biên so  n nên cu  n sách này mà tiêu bi  u là: 1.   Th  y Lã Duy Ti  n      THPT Bình Minh      Ninh Bình 2.   Th  y Nguy  n Th    Qu  c - Khánh Hòa      Th  a Thiên Hu   3.   Th  y Bùi Quý Minh      Giáo viên trườ ng THPT H  ng Bàng      H  i Phòng 4.   Th    GDNN - GDTX Ki    - Thái Bình 5.   Th    Dũn g      Giáo viên trường THPT Chuyên Sơn La  6.   Th  y Nguy  n Bá Long      Giáo viên trường THPT Như Thanh –   Thanh Hóa 7.   Th  n      Giáo viên trườ ng DTNT      Hòa Bình 8.   Anh Bùi Th    Vi  t      Sinh viên Đạ i h  c FPT 9.   Th  y Mai Xuân Vinh      S    Giáo d  o Ngh    An

Vẻ đẹp đánh giá phương trình và hệ phương trình

T TÀ  I L LI IỆ  U T TH HA AM M K KH HẢ  O T TO OÁ  N H HỌ  C P PH HỔ  TH HÔ  NG G _ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _  1988 14.03  Gac Ma   - -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- - C CH HU UY YÊ  N Đ   P PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H V VÀ  BẤ  T P PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC  T TR RU UN NG G Đ  OÀ  N T TR RẦ  N H HƯ  NG G Đ   O –  QU UÂ  N Đ  OÀ  N B BỘ  BI IN NH H C CH HỦ    O: : S SỬ  DỤ  NG G Đ   I L LƯ   NG G L LI IÊ  N H HỢ  P –  TR RỤ  C C CĂ  N T TH HỨ  C   HỆ  PH HƯ   NG G T TR RÌ  NH H T TẠ  M T TH HỜ  I      M MỘ  T S SỐ  BÀ  I T TO OÁ  N M MỞ    U. .      L LI IÊ  N H HỢ  P T TR RỰ  C T TI IẾ  P C CÁ  C B BI IỂ  U T TH HỨ  C C CH HỨ  A C CĂ  N. .      B BÀ  I T TO OÁ  N N NH HI IỀ  U C CÁ  CH H G GI IẢ  I. . C CR RE EA AT TE ED D B BY Y G GI IA AN NG G S SƠ  N ( (F FA AC CE EB BO OO OK K) ); ; G GA AC CM MA A1 14 43 31 19 98 88 8@ @G GM MA AI IL L. .C CO OM M ( (G GM MA AI IL L) ) T TH HỦ    HÀ  NỘ  I –  MÙ  A T TH HU U 2 20 01 13 3LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320   TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH  2    N No on n s sô  ng g V Vi iệ  t N Na am m c có  tr rở  nê  n t tư   i đ   p h ha ay y k kh hô  ng g, , d dâ  n t tộ  c V Vi iệ  t N Na am m c có  bư   c t tớ  i đ   i v vi in nh h q qu ua an ng g đ   sá  nh h v va ai i v vớ  i c cá  c c cư   ng g q qu uố  c n nă  m c ch hâ  u đ    c h ha ay y k kh hô  ng g, , c ch hí  nh h l là  nh hờ  mộ  t p ph hầ  n l lớ  n ở  c cô  ng g h họ  c t tậ  p c củ  a c cá  c e em m   ( ( T Tr rí  ch h t th hư  Ch hủ  tị  ch h H Hồ  Ch hí  Mi in nh h ) ). .    M Mẹ  nằ  m y yê  n d dư   i k kh he e n nú  i, , n nh hữ  ng g t tr rá  i đ   o d dạ  i v vư   ng g v vã  i c ch hu un ng g q qu ua an nh h, , t ta ay y m mẹ  nắ  m c ch hặ  t m mộ  t q qu uả  , m má  u t tr rê  n n ng gư   i m mẹ    cứ  ng g l lạ  i t th hà  nh h m mà  u đ  en n n nặ  ng g n nề  . T Tô  i đ  au u đ   n t tớ  i m mứ  c n ng gũ  tạ  ng g v vỡ  r ra a, , ô  m c ch hặ  t c cứ  ng g l lấ  y m mẹ  , g gọ  i: : m mẹ   i, , m mẹ   i... ...m mẹ  số  ng g c ch hẳ  ng g đ    c s su un ng g s sư   ng g n ng gà  y n nà  o... ...   ( ( M Mẹ   iê  n –  Vư   ng g H Hằ  ng g T Tí  ch h ) ). .

Sử dụng liên hợp trực tiếp giải phương trình chứa căn (liên hợp 1) – Lương Tuấn Đức

TUY  N T  P  PHƯƠNG TRÌNH ĐẠ I S    HAY VÀ KHÓ  T  U TOÁN H  C  CHINH PH  C OLYMPIC TOÁN  Chuyên đ   B  i dư  ng  H  c sinh gi  iT  P CHÍ VÀ TƯ LI  U TOÁN H  C  Copyright     All rights reserved. No part of this book may be reproduced or distributed in any form  or by anymeans, or stored in data base or a   retrieval system, without the prio r written  the   permission of the author.

Tuyển tập phương trình đại số hay và khó

Giáo   viên   có   nhu   c  u   s    h  u   file   word   vui   lòng   liên   h  .   Face:  Tr  n       C  .   S  T:   0834332133  Trang   183  BÀI 1.    I C  NG V    PH  NG TRÌNH A. KI  N TH  C C    B  N C  N N  M I – KHÁI NI  M PH  NG TRÌNH 1. Ph  ng trình m  t    n Ph  ng trình    n   x   là m  nh      ch  a bi  n có d  ng            f   x   g   x     1 trong           f   x   và       g   x   là nh  ng bi  u th  c c  a   . x   Ta g  i       f   x   là v    trái,       g   x   là v    ph  i c  a ph  ng trình    1 . N  u có s    th  c   0 x   sao cho             0   0 f   x   g   x    là m  nh          0 x    c g  i là m  t   nghi  m c  a ph  ng trình    1 . Gi  i ph  ng trình   ( ) 1   là tìm t  t c    các nghi  m c  a nó . N  u ph  ng trình không có nghi  m nào c    thì ta nói ph  ng trình   vô nghi  m   .  2.    i  u ki  n c  a m  t ph  ng trình  Khi gi  i ph  ng trình       1   , ta c  n l  u ý v  i    i  u ki  n    i v  i    n s    x          f   x   và       g   x   có ngh  a . Ta c  ng nói        i  u ki  n xác    nh c  a ph  ng trình .  3. Ph  ng trình nhi  u    n  Ngoài các ph  ng trình m  t    n, ta còn g  p nh  ng ph  ng trình có nhi  u    n s  , ch  ng h  n        2 2   2   2 3   2   2   8,   2 4   2   3   2   .   3  x   y   x   xy x   xy   z   z   xz   y                          Ph  ng trình       2   là ph  ng trình hai    n (   x   và   y   ), còn       3   là ph  ng trình ba    n (   , x   y   và   z   ). Khi   2,   1 x   y       thì hai v    c  a ph  ng trình       2   có giá tr    b  ng nhau, ta nói c  p             ;   2;1 x y      là m  t nghi  m c  a ph  ng trình       2 . T  ng t  , b    ba s              ;   ;   1;1; 2 x y z         là m  t nghi  m c  a ph  ng trình       3 .  4. Ph  ng trình ch  a tham s   Trong m  t ph  ng trình , ngoài các ch         n s    còn có th    có các ch    khác    c xem nh    nh  ng h  ng s    và    c g  i là   tham s  . II – PH  NG TRÌNH T  NG    NG VÀ PH  NG TRÌNH H    QU   1. Ph  ng trình t  ng    ng  Hai ph  ng trình    c g  i là t  ng    ng khi chúng có cùng t  p nghi  m.  2. Phép bi  n    i t  ng    ng   nh líGiáo   viên   có   nhu   c  u   s    h  u   file   word   vui   lòng   liên   h  .   Face:  Tr  n       C  .   S  T:   0834332133  Trang   184  N  u th  c hi  n các phép bi  n    i sau      t ph  ng trình mà không làm thay    i    i  u ki  n c  a nó thì ta    c m  t ph  ng trình m  i t  ng    ng a) C  ng hay tr    hai v    v  i cùng m  t s    ho  c cùng m  t bi  u th  c; b) Nhân ho  c chia hai v    v  i cùng m  t s    khác   0   ho  c v  i cùng m  t bi  u th  c luôn có giá tr    khác 0.  Chú ý:   Chuy  n v    và    i d  u m  t bi  u th  c th  c ch  t là th  c hi  n phép c  ng hay tr    hai v    v  i bi  u th  c      3. Ph  ng trình h    qu   N  u m  i nghi  m c  a ph  ng trình             f   x   g   x     u là nghi  m c  a ph  ng trình             1   1 f   x   g   x    thì ph  ng trình             1   1 f   x   g   x     c g  i là ph  ng trình h    qu    c  a ph  ng trình             . f   x   g   x   Ta vi  t                        1   1   . f   x   g   x   f   x   g   x         Ph  ng trình h    qu    có th    có thêm nghi  m không ph  i là nghi  m c  a ph  ng trình ban    u. Ta g  i      nghi  m ngo  i lai .  B. PHÂN LO  I VÀ PH  NG PHÁP GI  I BÀI T  P D  ng 1:    i  u ki  n xác    nh c  a ph  ng trình 1. Ph  ng pháp 2. Các ví d    rèn luy  n k    n  ng Ví d    1.   Tìm    i  u ki  n xác    nh c  a ph  ng trình   2   2 2   3 5 1   1  x x   x           L  i gi  i Ch  n D  Do   2   1   0, x   x             nên    i  u ki  n xác    nh c  a ph  ng trình là   D         .  Ví d    2.   Tìm    i  u ki  n xác    nh c  a ph  ng trình   1   2   3 x   x   x               L  i gi  i   i  u ki  n xác    nh c  a ph  ng trình là: 1   0   1 2   0   2   3 3   0   3  x   x x   x   x x   x                                                     .  Ví d    3.   Tìm    i  u ki  n xác    nh c  a ph  ng trình   6 2   4 3  x   x           L  i gi  i   i  u ki  n xác    nh c  a ph  ng trình:   2   0   2 3   0   3  x   x x   x                            

Phân loại và phương pháp giải bài tập phương trình – hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC –     TRƢỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI  CHUYÊN ĐỀ  BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI  MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI  PHƢƠNG TRÌNH –   HỆ PHƢƠNG TRÌNH  Năm học 2020      2021  Giáo viên: Trần Hoài Vũ  Tổ chuyên môn: Toán –   Tin1  I. Phƣơng pháp biến đổi đại số, rút thế  Sử dụng các phép   biến đổi tương đương cơ bản:  1.   Nâng lên lũy thừa hai vế (Chú ý điều kiện ) 2.   Rút 1 ẩn hoặc một biểu thức từ   1 phương trình trong hệ thế vào phương trình còn lại  3.   Ph  phương trình tích .  Bài số 1:   Giải hệ phương trình 2 3 2   2  (   ) 2(   )   3   2   1   11  y x   x   y   x   y x   y   x                                Giải     : 2   (   )   0 x   x   y          ; 1 0;   2  x   y   x         Hệ phương trình tương 2   3 2   2  (   ).   (1) 2(   )   3   2   1   11 (2)  x   x   y   x   y   y x   y   x                                Từ (1) suy ra 0 y      (Vì nếu y   <   0 thì VT (1)    0 >VP(1):   vô lý)  Dễ thấy y   = 0   cũng không thỏa mãn  Xét y   > 0  Phương trình (1) tương đương : 2   2 3 2 2   2 3   3 2 2   2 3   3  (   ) (   1)   (   (   )   )   0 1   (   )(   1) (   )(   )   0 (   )   1   (   ) (   ) (   1)(   )   0 (   )   1   (   ) 1   0  x   x   y   x   y   x   x   y   y x   y   x   y   x   y x   x   y   x   y   x   y   x   x   y   y x   x   y   x   y x   y   x   y   x   y   x   x   y   y x   y                                                                                                                          Thế y   = x -   1 vào (2) ta được: 2   2  4   4   2   3   2   1   11   (2   1)   3   2   1   10   0 x   x   x   x   x                                    = 2   1 x      , ( 0 t      ) , ta có phương trình : 4   3   2  3   10   0   (   2)(   2   4   5)   0   2 t   t   t   t   t   t   t                               

Một số phương pháp giải phương trình – hệ phương trình – Trần Hoài Vũ

PHƯƠNG PHÁP U, V, T, W PHÂN TÍCH NHÂN TỬ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ  (Bùi Thế Việt - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO)  A. Giới thiệu  Tôi (Bùi Thế Việt) tham gia diễn đàn từ hồi lớp 8. Khi đó, tôi vô cùng thắc mắc vì sao các anh chị giải đề thi đại học lại có thể giải quyết những bài toán về PTVT, BPT, HPT, ... một cách nhanh gọn như đặt ẩn phụ hợp lý, nhóm nhân tử, lấy   P T   (1) +   kP T   (2) , ... Từ đó, tôi tự mày mò nghiên cứu và đã có nhiều phương pháp, thủ thuật CASIO hỗ trợ quá trình giải toán. Ví dụ như lớp 9 tôi đăng lên diễn đàn thủ thuật giải phương trình bậc 4, rút gọn biểu thức, chia biểu thức, ... nhanh chóng bằng CASIO; lớp 10 đăng thủ thuật phân tích nhân tử, chia biểu thức chứa căn, S.O.S chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm, giải BĐT bằng CASIO, ... Cũng nhờ một thời chém mưa chém gió trên diễn đàn, tôi đã trưởng thành hơn nhiều, và trong kỳ thi THPT Quốc Gia 2015, tôi đã được trọn vẹn 10 điểm môn toán (82/900.000 người được điểm 10). Giờ tôi đã là sinh viên năm nhất, và cũng là giáo viên trung tâm luyện thi Vted.vn của anh Đặng Thành Nam. Vậy mà đến tận bây giờ, tôi mới quay trở lại diễn đàn. Muốn làm một gì đó mơi mới, tôi muốn giới thiệu cho bạn đọc phương pháp U, V, T, W để giải phương trình vô tỷ dạng một căn và nhiều căn thức ...  B. Ý tưởng  Bạn đọc đã bao giờ thắc mắc làm thế nào mà có thể phân tích được nhân tử thành như sau :  a ) x 3   + 3 x   + 2      x 2  2 x 2      x      1 =  (  x   + 1    2 x 2      x      1  ) (  2 x 2      x      1 +   x 2   +   x   + 1  )  b ) 6 x      1      (4 x      1)    1      x      2 ( x   + 1)    x   + 1 =  (  1      x      2  x   + 1      1  ) (  1      x   +    x   + 1      1  ) 2    các bạn khác, chúng ta cần một công cụ hỗ trợ việc phân tích nhân tử như trên. Đó là chiếc máy tính CASIO hoặc VINACAL mà chắc hẳn bạn đọc nào cũng có.   Bước 1:   Tìm nhân tử  Bước 2:   Chia biểu thức  Bước 3:   Tiếp tục tìm nhân tử (nếu còn) hoặc đánh giá vô nghiệm. Cụ thể chi tiết từng phần, tôi sẽ trình bày ở dưới. Tuy nhiên U, V, T, W mà là gì ? U, V, T, W không hẳn là một phương pháp, mà đây là một công thức để thực hiện bước 2 - chia biểu thức. Đây cũng chính là mấu chốt cho việc phân tích thành nhân tử bằng CASIO.  C. Yêu cầu   này hoặc tài liệu PDF chi tiết hơn ở đây. Cụ thể, thứ chúng ta cần bao gồm : 1   Rút gọn biểu thức bằng CASIO     Tìm các nghiệm bằng CASIO     Kỹ năng sử dụng CASIO như CALC, STO, ENG, ...     Làm việc với số phức trong Mode 2 CMPLX  D. Thực hiện  Chúng ta sẽ lần lượt đi qua từng giai đoạn của Ý Tưởng trên :  Phần 1: Tìm nhân tử :  Làm thế nào để tìm được nhân tử ? Làm sao để biết   x 3   + 3   x   + 2      x 2  2   x 2      x      1   có nhân tử  (  x   + 1    2   x 2      x      1  )  ??? Phương pháp tìm nhân tử đơn giản như sau : Nếu nhân tử có nghiệm   x   =   x 0   thì phương trình ban đầu cũng có nghiệm   x   =   x 0   Vậy thì nếu chúng ta biết phương trình ban đầu có nghiệm   x   =   x 0   thì sẽ tìm được nhân tử chứa nghiệm   x   =   x 0     Ví dụ:   Phương trình   x 3   + 3   x   + 2 =   x 2  2   x 2      x      1   có nghiệm   x   = 3 +    17 2  Khi đó    2   x 2      x      1 =    21 + 5  17 2   = 5 +    17 2   =   x   + 1   suy ra nhân tử là  (  2   x 2      x      1      x      1  )  Vấn đề cần được giải quyết ở đây gồm :     Làm thế nào để tìm được nghiệm lẻ như   x   = 3 +    17 2     Làm thế nào biến đổi nhanh chóng    21 + 5  17 2   = 5 +    17 2     Làm thế nào để tìm được nhân tử khi biết nghiệm hữu tỷ ? Nhờ quá trình mày mò, nghiên cứu dựa theo ý tưởng trên, tôi đã xây dựng được thủ thuật tìm nhân tử cho phương trình vô tỷ như sau :     Một căn thức   f   ( x ) +   g ( x )  h ( x ) = 0     Nhiều căn thức   U  p ( x ) +   V    q ( x ) +   T    p ( x ) q ( x ) +   W   = 0  Bước 1:   Viết biểu thức. Ấn Shift + SOLVE, tìm các nghiệm (nếu có) và lưu vào A, B, C, ...  Bước 2:   Xét các trường hợp nghiệm  TH1:   Phương trình có ít nhất 2 nghiệm vô tỷ   k 1 , k 2   sao cho      k 1   +   k 2      Q  k 1 k 2      Q   hoặc ít nhất 2 nghiệm hữu tỷ  k 1 , k 2      Q  Khi đó nhân tử sẽ là :  (√ h ( x ) +   ax   +   b  )  với        a   =      h ( k 1 )       h ( k 2 )  k 1      k 2  b   =     h ( k 1 )      bk 1  2

Phương pháp U V T W phân tích nhân tử phương trình vô tỷ – Bùi Thế Việt

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH   1.   MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH  I.   Tìm tập xác định của phương trình  Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình   của ẩn   x    Các dạng thường gặp: a) Điều kiện để biểu thức      f   ( x )   có nghĩa là   f   ( x )      0 ; b) Điều kiện để biểu thức   1  f   ( x )   có nghĩa là   f   ( x )   6   =   0 ; c) Điều kiện để biểu thức   1     f   ( x )   có nghĩa là   f   ( x )   >   0 .  Ví dụ 1.   Tìm điều kiện của các phương trình sau: a)   1  x   +   1   =   3 ; b)    x      5   =   1 ; c)   1   x   +   2   =   x   +   1 ; d)   1  x   +   1      2  x      3   =   x   +   5 .  Lời giải.  a) Điều kiện xác định của phương trình là   x   +   1   6   =   0      x   6   =    1 .  b) Điều kiện xác định của phương trình là   x      5      0      x      5 . c) Điều kiện xác định của phương trình là   x   +   2   >   0      x   >    2 . d) Điều kiện xác định của phương trình là   x   +   1   6   =   0  x      3   6   =   0      x   6   =    1  x   6   =   3   .  Ví dụ 2.   Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau: a)   3  x 2      4   =   3      x  3   ;   b)   2 x      1   x      3   =    1      x . 145146   CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Lời giải.  a) Điều kiện xác định của phương trình là:   x 2      4   6   =   0 3      x      0      x   6   =    2 3      x   . b) Điều kiện xác định của phương trình là:   x      3   >   0 1      x      0      x   >   3  x      1 . Vậy không có giá trị nào của   x   thỏa mãn cả hai điều kiện này.  Ví dụ 3.   Tìm điều kiện xác định rồi suy ra nghiệm của các phương trình sau: a)    3 x      4   =    4      3 x ; b)   3 x   +   5    x      3   =    3      x   +   2018 ; c)   5 x   +   15  x   +   3   =    x      3 .  Lời giải.  a) Điều kiện xác định của phương trình là:   3 x      4      0 4      3 x      0           x      4 3  x      4 3  hay   x   =   4 3 . Thay   x   =   4 3   vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là   x   =   4 3 . b) Điều kiện xác định của phương trình là:   x      3      0 3      x      0      x      3  x      3      x   =   3 . Thay   x   =   3   vào phương trình ta có   3 . 3      0   =   0   +   2018   (vô lý), vậy phương trình đã cho vô nghiệm. c) Điều kiện xác định của phương trình là:        5 x   +   15      0  x   +   3   6   =   0     x      3      0          x    3  x   6   =    3  x    3  . Vậy không có   x   nào thỏa điều kiện xác định của phương trình nên phương trình vô nghiệm.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.   Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau: a)   1   +    2 x      5   =   0 ; b)   2 x   +   1 2 x 2      3 x   +   1   =   x      1 ; c)   x   +   1   2 x      1   =   x      3 ; d)   x   +   1  x      2   =   2      3 x  5 x   +   1 .  Lời giải.  b) Điều kiện xác định của phương trình là:   2 x      5      0      x      5 2 . c) Điều kiện xác định của phương trình là:   2 x 2      3 x   +   1   6   =   0      x   6   =   1   và   x   6   =   1 2 . c) Điều kiện xác định của phương trình là:   2 x      1   >   0      x   >   1 2 . d) Điều kiện xác định của phương trình là:   x      2   6   =   0 5 x   +   1   6   =   0         x   6   =   2  x   6   =    1 5  .  Bài 2.   Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phương trình và hệ phương trình

      HÀ H  U H  I (TEAM   CASIO MEN) [  TEAM CASIO MEN: S    M  T VI  T NAM TÀI LI  U CASIO ]  VIDEO BÀI GI  NG CASIO MEN  Fb.com/groups/casiomen  L  U  Nh  i s    phát tri  n c  a máy tính CASIO, các bài toán  phương trình vô tỷ , b    phương trình đã đượ c bi  n t  u r  t nhi  u n  y sinh các d    là phương  pháp      nhân t  . V  i các k    thu  n nay, k    thu  t ép m   xa l  , tuy nhiên k    thu  c ch  a nhi  n là m  t    n s  , thách th  c v  i không ít các b  n tr  . Trong tác ph  m này, TEAM CASIO MEN chúng tôi xin gi  i thi  u v  i các b  c m  t tuy  t ph  m v    chia đa thứ c ch  a nhi  ng tác ph  m này s    giúp b  c  có đượ c nh  ng cái nhìn m  i sâu s  c v    CASIO và uy l  c c  a nó. CASIO MEN là Team M  nh Nh  t hi  n nay c  a Vi  c tài li  u v   CASIO, thay m  t Team, kính chúc các th  y cô, các em h  c nh  ng giây  phút thư giãn, vui vẻ   và đặ t m  c chân l    gi  i v    CASIO. Xin chân thành c   TRƯỞ NG NHÓM CASIO MEN THÁM T    CASIO      CASIO MAN         NG

Giải phương trình bằng máy tính Casio – Tập 2: Chia đa thức nhiều căn

KÍNH LÚP TABLE      TẬ P 1 [   ]      DŨNG  1  T  P 1:     U  I. Nguyên lý cơ bản     N  u hàm s       trướ c).     N  u hàm s      f   x    u và không liên t  c trên t  nh c  a nó thì  phương trình     f   x   a    có t  n   1    nghi  a   là h  ng s    cho  trướ c và n   là s     n c    th    hàm s  ).     N  u hàm s      f   x    c trên t  nh D   thì     f   a   f   b   a   b         v  i a b ,   n  m trong t  nh c  a hàm s  .     N  u hàm s      f   x    c trên t  nh D   thì     f   a   f   b   a   b         v  i a b ,   n  m trong t  nh c  a hàm s  .     N  u hàm s      f   x    u gi  m và liên t  c trên t  nh D   thì     f   a   f   b   a   b         v  i a b ,   n  m trong t  nh c  a hàm s  .     N  u hàm s      f   x    u gi  m và liên t  c trên t  p xác    nh D   thì     f   a   f   b   a   b         v  i a b ,   n  m trong t  nh c  a hàm s  .     Vi  c d       th    hàm s    có th     c phân tích b  ng ch      N  u           f   x   g x ,   cùng đồ ng bi  c trên cùng m  t t  p xác   nh D   thì                 h x   f   x   g x .    và                 k x   f   x   g x       là các hàm s     ng bi  n và liên t  c trên D   .     N  u           f   x   g x ,   cùng ngh  ch bi  c trên cùng m  t t  p  xác đị nh D   thì                 h x   f   x   g x .    là hàm s     ng bi  n và liên t  c trên D  còn                 k x   f   x   g x       là hàm s    ngh  ch bi  n và liên t  c trên t  nh D  .     N  u     f   x    ng bi      g x   ngh  ch bi  t t  nh D   thì                 h x   f   x   g x .    là hàm s    ngh  ch bi  n và liên t  c trên t  nh D   .  TƢ DUY CASIO TRONG PT      BPT      HPT VÔ TỶ  KÍNH LÚP   TABLE VÀ PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ  f   x    u và liên t  c trên t  nh c  a nó thì  phương trình   f    x       a   có t  t nghi    a   là h  ng s    cho

Giải phương trình bằng máy tính Casio – Tập 1: Đánh giá hàm đơn điệu

CHUYÊN      LUY  N THI    I H  C 2013 - 2014  PH  NG TRÌNH – B  T PH  NG TRÌNH H    PH  NG TRÌNH  BIÊN SO  N: L  U HUY TH  NG  HÀ N  I, 8/2013  H    VÀ TÊN: ........................................................................... L  P   :............................................................................ TR  NG   :...........................................................................GV.Lưu Huy Thưởng   0968.393.899  BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN   Page 1  CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH  BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH  I.   KIẾN THỨC CẦN NHỚ  1.   PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:   0 ax   b +   =  Chú ý:   Khi a     0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.  2.   BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG   0 ax   b +   <  Biện luận   Dấu nhị thức bậc nhất   i  u ki  n   K  t qu    t  p nghi  m  a > 0   S =   b  a  ;                  a < 0   S =   b a   ;          +∞           a = 0   b     0   S =     b < 0   S =   R  f(x) = ax + b (a     0)  x     b  a  ;                   a.f(x) < 0  x     b a   ;          +∞            a.f(x) > 0  3.   PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:   2   0 ax   bx   c +   +   =  1. Cách giải  Chú ý:      c  a   .     c  a     .     2  b  b    =   .  2. Định lí Vi–et  Hai số   1   2 , x   x   là các nghiệm của phương trình bậc hai   2   0 ax   bx   c +   +   =   khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức  ax + b = 0   (1) Hệ số   Kết luận  a     0   (1)   có nghiệm duy nhất a = 0 b     0   (1)   vô nghiệm b = 0   (1)   nghiệm đúng với mọi x  (1) Kết luận     > 0   (1)   có 2 nghiệm phân biệt     = 0   (1)   có nghiệm kép     < 0   (1)   vô nghiệm

Chuyên đề phương trình đại số – Lưu Huy Thưởng

CHUYÊN Đ    :  PHƯƠNG TRÌNH   - H    PHƯƠNG TRÌNH  THÁNG 6/ 2012  Di  n đàn MATHSCOPE  Niels Henrik Abel  (1802 - 1829)  Gerolamo Cardano  (1501 - 1576)    ( 1811 - 1832 )Diễn đàn MATHSCOPE  PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Chủ biên: Nguyễn Anh Huy 26 - 7 - 2012

Trọn bộ phương pháp giải phương trình – Hệ phương trình – Nguyễn Anh Huy

Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên K62CLC - Khoa Toán Tin ĐHSPHN  TUYỂN   CHỌN   455   HỆ   PHƯƠNG  TRÌNH      SỐ  BỒI   DƯỠNG   HỌC   SINH   GIỎI   VÀ   LUYỆN   THI      HỌC

Tuyển chọn 410 Hệ phương trình Đại số – Nguyễn Minh Tuấn

Bí Kíp   Công phá H    Phương Trình bằ ng fx 570 ES PLUS   Chuyên đề    c bi  t  1  Bí Kíp Công Phá Kì Thi THPT Quốc Gia  Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 ES PLUS  Version 2.1 Finally  I, Giới thiệu  Xin chào tất cả các em! Khi các em đang đọc những dòng này là các em đang nắm trên tay bí kíp giải hệ phương trình giúp tăng khả năng lấy điểm thứ 9 của các em một cách dễ dàng hơn. Hi vọng, sau khi đọc xong tài liệu này, các em sẽ cảm thấy Hệ Phương Trình thật đơn giản và không còn thấy sợ câu thứ 9 này nữa.     của version 1.0  II, Lý do chọn đề tài  Có rất nhiều em gửi thắc mắc tới anh : “tại sao anh lại giải câu hệ như vậy ?” đó cũng là câu hỏi anh đã từng băn khoăn hồi còn ôn thi như các em, mà không một thầy giáo nào giải thích cho anh cả, anh phải tự mò mẫm cho mình 1 lý do, các thầy chỉ dạy cho mình phương pháp làm là chính chứ rất ít khi các thầy giải   thích tại sao và thường chỉ đưa ra dấu hiệu là người ta cho thế này thì mình làm thế này.  Nhưng hôm nay, anh sẽ trình bày với các em một hướng đi mới trong việc công pháp điểm thứ 9 này với máy tính fx 570 ES PLUS, đảm bảo học xong các em ở mức Trung Bình –   khá chăm chỉ 1 chút cũng sẽ làm được, thực tế là sau khi anh phát hành version 1 .0    phương trình.  III, Yêu cầu chung  1. Có tinh thần Quyết tâm đỗ Đại Học !!! 2. Có kiến thức căn bản sử dụng các phương pháp thế, đưa về phương trình tích, phương pháp hàm số, phương pháp đánh giá...  Ví dụ như:   0 .   0   0  A A B   B             Phương pháp hàm số: ( )   ( ) f   x   f   y    mà hàm f      ( nghịch biến)   trên đoạn     ; a b   và     ,   ; x y   a b   Thì phương trình có nghiệm duy nhất là x = y  Phương pháp đánh giá: thường là sử dụng BĐT Cô - Si vì BĐT này có trong SGK lớp 10  Ta có : ,   0;   2 a b   a   b   ab            3. Có 1 chiếc máy tính có tính năng SOLVE : fx 570 es plus, fx 570 es, ....  Lý do anh chọn Fx 570 ES PLUS vì đây là máy tính hiện đại nhất được mang vào phòng   thi bây giờ   và là   bản nâng cấp của fx 570 es nên sẽ cho tốc độ cao hơn chút và có một số tính năng mới.  IV, Nội DungBí Kíp   Công phá H    Phương Trình bằ ng fx 570 ES PLUS   Chuyên đề    c bi  t  2  Anh sẽ hướng dẫn các em công phá tất cả các hệ phương trình từ   2010   cho tới nay bằng máy fx 570 es plus theo cách tự nhiên và dễ hiểu nhấ t.  * Đường lối chung để giải 1 hệ phương trình : Vậy vai trò của máy ở đây là gì ? Máy tính sẽ giúp ta làm chủ cuộc chơi chứ không phải tác giả nữa, tức là nhờ máy ta sẽ tìm được mối quan hệ ở Bước 2 để áp dụng phương pháp cho   thích hợp, tránh hiện tượng      Nội dung chính của tài liệu này:  (Anh chỉ bám sát nội dung thi, không đi quá xa đà vào những hệ quá khó, quá phức tạp so với đề thi)  Anh sẽ chia ra làm 2 dạng cơ bản :  1.   Từ 1 phương trình là đã tìm luôn được quy luật ( 90% Đề   thi thử và     Biểu hiện: khi cho Y nguyên thì X, 2  X   tìm được là số nguyên  2.   Phải kết hợp 2 phương trình thì mới tìm ra được quy luật ( một số     Biểu hiện là cho Y nguyên nhưng được X, 2  X   rất lẻ  Muốn tìm được quy luật giữa x và y của dạng này các em cần kết hợp 2 phương trình như cộng trừ 2 vế để khử số hạng tự do.  *Sau khi tìm được mối liên hệ giữa X và Y thế vào 1 phương trình còn lại thì lại có 2 khả năng chính  a. Bấm máy phương trình ra nghiệm đẹp : vậy là xác suất 90% xử lý được b. Bấm máy phương trình ra nghiệm xấu: Từ   1 trong 2   phương trình, hoặc phức tạp hơn là phải kết hợp 2 phương t rình  Mối quan hệ giữa x và y  (muốn làm được điều này thì các em phải dùng các pp thế, đưa về phương trình tích, ẩn phụ, hàm số, đánh giá....)  Thế vào 1 trong các phương trình để đưa về phương trình 1 ẩn, có thể là giải được luôn, hoặc có thể là một phương trình chứ a   căn phải dùng thêm phương pháp mới giải được, tùy vào mức độ đề thi

Bí kíp giải hệ phương trình bằng Casio – Nguyễn Thế Lực

1 |   T H      T H U      P H Ư Ơ N G   T R Ì N H      H      P H Ư Ơ N G   T R Ì N H  TÀI LI      ------------------    ------------------  K    THU  T X    LÝ  PHƯƠNG TRÌNH      H    PHƯƠNG TRÌNH VÔ T   PH  PH  PH  PH  PH  PH  PH   PHƯƠNG PHÁP XÉT T   D         H    T Đ        LƯ         PH  N VII: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ  Biên so  n:     Hot line:   0902920389  Facebook:   h ttps://www.facebook.com/toanthaydung2 |   T H      T H U      P H Ư Ơ N G   T R Ì N H      H      P H Ư Ơ N G   T R Ì N H  PH  NG VÀ HI  U    Phương pháp xét tổ ng và hi  u s    d    ho  c m  t h   phương trình ở   d  ng A   B   C       . Điề u ki  n s    d  ng      ch    ta nh  n th  y C   là m  t nhân t    c  a     A   B    .  BÀI 1: 2   2   2   1   1 x   x   x   x               Nh  n th  y           2   2  2   2   1   1 A   B   x   x   x   x                      có m  t nhân t    là 1 C   x     2   2 2 2 2 2 2  2   2   1   1 2   2   1   1 1 2   2   1 2   2   1   1   2   2   2   0 2   2   1   1  x   x   x   x x   x   x   x x x   x   x x   x   x   x   x   x   x   x x   x   x   x                                                                                           BÀI 2: 3   2   2   2  1   2   1 x   x   x   x   x                     Nh  n th  y           3   2   2   3  1   2   1 A   B   x   x   x   x                         có m  t nhân t    là 2   1 C   x   x                             3   2   2   3 3   2   2 2 3   2   2 3   2   2   2 2   2   2 3   2   2  1   2   1 1   2   1 1 1   2 1   2   1   2   2   1   1   2   2 1   2   1  x   x   x   x x   x   x   x x   x x   x   x x   x   x   x   x   x   x   x   x   x   x x   x   x   x                                                                                                                                  Th    l  i nghi  m ta th  y ch    có 2 x      th  t nghi  m duy nh  t là 2 x     BÀI 3: 4  8   7   1   1 x   x   x   x   x                  Nh  n th  y           8   7   1   1 A   B   x   x   x   x   x                         có m  t nhân t    là 4   1 C   x                 4 4 4 4  8   7   1   1 8   7   1   1 1 8   7   1 8   7   1   1   2   7   1   2   7   0   0 8   7   1   1  x   x   x   x   x x   x   x   x   x x x   x   x   x x   x   x   x   x   x   x   x   x   x x   x   x   x   x                                                                                                                     BÀI 4: 3   4   5   4   4 5   3   7   2   2   1   4  y   x   y   x y   x   x   y                                            Nh  n th  u có           3   4   5   4   8 A   B   y   x   y   x   x                         có liên quan đế n giá tr    4            2  3   4   5   4   8 3   4   5   4   2 4 3   4   5   4 3   4   5   4   4   2   3   4   4   2   3   4   2   ,   2. 3   4   5   4   2  y   x   y   x   x y   x   y   x   x y   x   y   x y   x   y   x   y   x   x   y   x   x   y   x   x x y   x   y   x   x                                                                                                                                          Thay vào phương trình thứ   2 ta đượ c

Kĩ thuật xử lí phương trình – hệ phương trình vô tỉ – Đoàn Trí Dũng

Bài 1   Giải hệ phương trình:  2 3 12   (12   )   12   (1) 8   1   2   2   (2)  x   y   y   x x   x   y                                      (x, y      R)   (ĐH khối A – 2014)  Giải     2 2   12 12   0  y x                            2   12 2   3   2   3  y x                        Cách 1:     2  12   ,   0   12 y a   y   a a                  PT (1)   2   2 (12   )(12   )   12 xa   a   x                  2   2   2   2   2 12   12   12   12 x   a   x a   xa                  2   2   2   2   2   2   2   2  12 12   12   12   12   2.12.  xa x   a   x a   xa   x a                                     2   2 12 12   2.12   12   0  xa x   xa   a                            2 12 (   )   0  xa x   a                      Ta có (x – a)   2   = 0      x =   12   y    (*) Thế (*) vào (2) được :   (12   ) 12   8   12   1   2   2 y   y   y   y                        (4   ) 12   2   2   1 y   y   y                  (3   ) 12   12   3   2   2   2   0 y   y   y   y                              3   2(3   ) (3   ) 12   0 12   3   1   2  y   y  y   y y   y                                3 1   2 12   0(voâ nghieäm) 12   3   1   2  y y y   y                                  Vậy   3 3  x y                   100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH H A Y THƯ  NG G  P 2015 -2016Cách 2:  Ta có          2   2   2 12   (12   )   12   12   12 x   y   x   y   x   x   y   y                           Dấu “=” xảy ra   2 12 12  y x y y           2 (12   )(12   ) x   y   y   x             (3) Khi đó (1) tương đương với (3) (3)   2   2   2   2   2 0   0   0 144   12   12   12   144   12   12   (4)  x   x   x x y   x   y   x y   y   x   y   x                                                                                             Thế (4) vào (2) ta có  3   2   3   2 (2)   8   1   2   10   8   1   2   10   0 x   x   x   x   x   x                                     3   2 8   3   2 1   10   0 x   x   x                              2 2 2 1   (10   ) 3   3   1   2.   0 1   10  x x   x   x x                                   2 2 2 9 3   3   1   2.   0 1   10  x x   x   x x                              2 2 2(   3) 3   3   1   0 1   10  x x   x   x x                                        2 2 3 2(   3) 3   1   0 (voâ nghieäm vì x   0) 1   10  x x x   x x                                    3   3 x   y            Vậy   3 3  x y                   Cách 3:                     2 ;   12   ;   12   ; a   x   x   b   y   y                 12 a   b      (1)          2   2 2 . a   b   a b              a   b       12 x   y         (2)   3   2 8   3   2   10   2 x   x   x                                  2 2 3   3 3   3   1   2 10   1  x   x  x   x   x x                        3 x   y                      2   2 3   1   10   1   2 3   0 x   x   x   x                                        2   2 3   1   10   1   2 3 f   x   x   x   x   x                   

Tuyển tập 100 hệ phương trình hay thường gặp – Megabook

 NG THÀNH NAM  (Giám đố c trung tâm nghiên c  n và phát tri  n s  n ph  m giáo d  c Newstudy.vn)  NH  U C  T LUY    QU   THEO C    THI M  I NH  T C  A B    GD & ĐT  K    THU   H    PHƯƠNG TRÌNH  (   ) 2   2   2 2   2 3   2   5   2   1   2   1   2   2 2   2   4   3           +   +   =   +   +   +     +   =      +    x   x   x   x   y   y   y x   y   x   y  -   Dành cho h  c sinh l  p 10,11,12  -     c gia và b  ng h  c sinh gi  i  -   Dành cho giáo viên gi  ng d  y và luy  n thi Qu  c gia  NHÀ XU  T B  I H  C QU  C GIA HÀ N  IMuïc Luïc  Lôøi noùi ñaàu Chöông 1: Kieán thöùc boå sung khi giaûi heä phöông trình .   ..................................   3  Chuû ñeà 1: Phöông trình, baát phöông trình baäc nhaát vaø baäc hai .   ......................   3 Chuû ñeà 2: Phöông trình baäc ba .   .......................................................................   4 Chuû ñeà 3: Phöông trình baäc boán . .....................................................................   7 Chuû ñeà 4: Phöông trình phaân thöùc höõu tyû. ......................................................   12 Chuû ñeà 5: Heä höông trình hai aån coù chöùa phöông trình baäc nhaát . .................   13 Chuû ñeà 6: Heä höông trình baäc hai hai aån daïng toång quaùt.   .............................   14  Chöông 2: Caùc kyõ thuaät vaø phöông phaùp giaûi heä phöông trình .   .................... 25  Chuû ñeà 1. Kyõ thuaät söû duïng heä phöông trình baäc nhaát hai aån..   ......................   25 Chuû ñeà 2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I. . ...................................................   46 Chuû ñeà 3. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II. .   .................................................   99 Chuû ñeà 4. Heä phöông trình coù yeáu toá ñaúng caáp .   ..........................................   132 Chuû ñeà 5. Kyõ thuaät söû duïng pheùp theá. . .........................................................   159 Chuû ñeà 6. Kyõ thuaät phaân tích thaønh nhaân töû. .   ..............................................   188 Chuû ñeà 7. Kyõ thuaät coäng, tröø vaø nhaân theo veá hai phöông trình cuûa heä. . .....   222 Chuû ñeà 8. Kyõ thuaät ñaët aån phuï daïng ñaïi soá. .   ...............................................   254 Chuû ñeà 9. Kyõ thuaät ñaët aån phuï daïng toång - hieäu.   .........................................   336 Chuû ñeà 10. Kyõ thuaät söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá. .   ............................   361 Chuû ñeà 11. Kyõ thuaät söû duïng ñieàu kieän coù nghieäm cuûa heä phöông trình. . ....   427 Chuû ñeà 12. Kyõ thuaät ñaùnh giaù. . ....................................................................   438 Chuû ñeà 13. Heä phöông trình coù chöùa caên thöùc. .   ..........................................   491 Chuû ñeà 14. Kyõ thuaät löôïng giaùc hoùa. . ...........................................................   576 Chuû ñeà 15. Kyõ thuaät heä soá baát ñònh. . ............................................................   600 Chuû ñeà 16. Kyõ thuaät phöùc hoùa. . ....................................................................   640 Chuû ñeà 17. Kyõ thuaät söû duïng tính chaát hình hoïc giaûi tích. .   ..........................   665 Chuû ñeà 18. Kyõ thuaät nhaân lieân hôïp ñoái vôùi heä phöông trình coù chöùa caên thöùc  ......................................................................................................................   677 Chuû ñeà 19. Moät soá baøi toaùn choïn loïc vaø reøn luyeän naâng cao . . ......................   704  Chöông 3: Baøi toaùn coù chöùa tham soá. .............................................................. 783  Chuû ñeà 1: Heä ñoái xöùng loaïi I .   ........................................................................ 783 Chuû ñeà 2: Heä ñoái xöùng loaïi II . ...................................................................... 827 Chuû ñeà 3: Heä ñaúng caáp .   ................................................................................ 836 Chuû ñeà 4: Kyû thuaät söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá     Xöû lyù baøi toaùn heä phöông trình coù chöùa tham soá . ..................................................................... 846

Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình – Đặng Thành Nam

CHUÛ ÑEÀ 3.   PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ PHÖÔNG TRÌNH     Baøi 01    I      KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn  Phương trình ẩn   x   là mệnh đề chứa biến có dạng  (   )   (   ) f   x   g x =   (   ) 1 trong đó   (   ) f   x   và   (   ) g x   là những biểu thức của   . x   Ta gọi   (   ) f   x   là vế trái,   (   ) g x   là vế phải của phương trình   (   ) 1 . Nếu có số thực   0 x   sao cho   (   )   (   ) 0   0 f   x   g x =   là mệnh đề đúng thì   0 x     nghiệm của phương trình   (   ) 1 . Giải phương trình   (   ) 1   là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình   vô nghiệm   (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).  2. Điều kiện của một phương trình  Khi giải phương trình   (   ) 1   , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số   x      (   ) f   x   và   (   ) g x có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác   3. Phương trình nhiều ẩn  Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn  (   )  (   )  2 2   2   2  3   2   2   8,   2  4   2   3   2   .   3  x   y   x   xy x   xy   z   z   xz   y  +   =      +     +   =   +   +  Phương trình   (   ) 2   là phương trình hai ẩn (   x   và   y   ), còn   (   ) 3   là phương trình ba ẩn (   , x y   và   z   ). Khi   2,   1 x   y =   =   thì hai vế của phương trình   (   ) 2   có giá trị bằng nhau, ta nói cặp  (   )   (   ) ;   2;1 x y   =   là một nghiệm của phương trình   (   ) 2 . Tương tự, bộ ba số   (   )   (   ) ;   ;   1;1;2 x y z   = −   là một nghiệm của phương trình   (   ) 3 .  4. Phương trình chứa tham số  Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là   tham số.  II      PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG V0 PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. Phương trình tương đương  Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.2. Phép biến đổi tương đương    Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác   0   hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác   0.  Chú ý:   Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.  3. Phương trình hệ quả  Nếu mọi nghiệm của phương trình   (   )   (   ) f   x   g x =     (   )   (   ) 1   1 f   x   g   x =   thì phương trình   (   )   (   ) 1   1 f   x   g   x =    phương trình   (   )   (   ) . f   x   g x =  Ta viết  (   )   (   )   (   )   (   ) 1   1   . f   x   g x   f   x   g   x =      =  Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là   nghiệm ngoại lai .  CÂU HỎI V0 B0I TẬP TRẮC NGHIỆM 10  NGUYỄN PHÚ KHÁNH      HUỲNH ĐỨC KHÁNH    Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH      0975 120 189  https://web.facebook.com/duckhanh0205  Khi mua có sẵn   File đề riêng;  File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH  Câu 1.      2   2  2   3  5  1   1  x x   x     =  +   +   là  A.   1. x      B.   1. x      C.   1. x      D.   . x        Lời giải. Chọn D.   Vì   2   1   0 x   +      với mọi   x         .  Câu 2.      1   2   3 x   x   x    +      =      là  A.   3. x   >   B.   2. x      C.   1. x      D.   3. x     Lời giải.   Phương trình xác định khi  1   0   1  2   0   2   3.  3   0   3  x   x x   x   x x   x                                                                             Chọn D.

Bài tập phương trình và hệ phương trình có lời giải chi tiết – Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh

Mục lục  Chương 1   Dấu của đa thức   2  1.1   Dấu nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 1.1.1   Dấu tích các nhị thức bậc nhất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 1.1.2   Dấu thương các nhị thức bậc nhất   . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 1.1.3      . . . . . . . . . . . .   4 1.2   Tam thức bậc hai   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7 1.3   Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai   . . . . . . . .   15 1.3.1   Phương trình và bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối   15 1.3.2   Bất phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   19 1.4   Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   25 1.4.1   Dạng   p ax   +   b   + p cx   +   d   >   k .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 1.4.2   Dạng   p ax   +   b   + p cx   +   d   6   k .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 1.4.3   Dạng   p ax   +   b    cx   +   d   >   k .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 1.4.4   Dạng   p ax   +   b    cx   +   d   6   k .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 1Chương 1 Dấu của đa thức  1.1   Dấu nhị thức bậc nhất     Nhị thức bậc nhất   theo biến   x   là biểu thức có dạng   f   ( x )   =   ax   +   b  ( a   6   =   0) .     Dấu   f   ( x )   =   ax   +   b   cùng dấu   a   nếu   x   > −   b a   và trái dấu   a   nếu   x   <   b a   .  Ví dụ 1.1.   Xét dấu nhị thức   f   ( x )   =   x      2 .  Lời giải .   Nghiệm của   f   ( x )   là   x   =   2 . Bảng xét dấu.  x  x      2     2   +∞     0   + Từ bảng xét dấu, ta có     f   ( x )   >   0      x      (2 ,   +∞ ) ;     f   ( x )   <   0      x      (  ,   2) .    Ví dụ 1.2.   Xét dấu nhị thức   f   ( x )   =   3      4 x .  Lời giải .   Nghiệm của   f   ( x )   là   x   =   3 4   . Hệ số của   x   là    4 . Bảng xét dấu.  x  3      4 x     3 4   +∞  +   0    2

Dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai và ứng dụng – Trần Văn Toàn

Tài li    -   Chuyên Nguy     H     (Ôn thi TRUNG H   Biên so     -   THPT Chuyên Nguy    PHƯƠNG PHÁP HÀM S   Bài   1 :   Gi          3   2  2   2  2   12   25   18   2   9   4   ( 1)  3   1   3   14   8   6   4   ( 2)  y   y   y   x   x  x   x   x   y   y                                                    ( Thi th    Nghi Sơn      Thanh Hóa )  Bài gi          2  1  3  6   4   0  x  y   y                           (*)     Khai thác phương tr        tìm h        c    x   và   y  (s                f   u   f   v    )         3   2  2   12   25   18   2   9   4 y   y   y   x   x                                      3 3  2   4 2   2   4 2 y   y   x   x                    (3)  [T      Xét hàm đ           3  2 f   t   t   t       trên      ta có:        2  '   6   1   0, f   t   t   t                       f   t          Nên:                         2   2  2   2  3   2   4   2   4   4   (4) 2   4  y   y  f   y   f   x   y   x   x   y   y y   x                                                                              Th    (4) vào (2) đ        2  3   1   6   3   14   8   0 x   x   x   x                      (5)         5 x      nên có th    bi      liên   h                     2  4   1 5   3   1   6   3   14   5   0 x   x   x   x                           (Tách thành các bi                    3   5   5   5   3   1   0  3   1   4   6   1  x   x   x   x  x   x                                    (Nhân liên h              0  3   1  5   3   1   0  3   1   4   6   1  x   x  x   x                                                                   5 x         5 x         1 y      (th      V                 ;   5;1 x y      Tài li    -   Chuyên Nguy     PHƯƠNG PHÁP GI   Bư    Tìm       các bi    x, y   c      (n   Bư    Tìm m         b     + Bi        +   Xét hàm đ   h         Bư    Thay h                      phương tr      Bư    Gi         (c    t    các phương pháp gi   ng trình 1     Bài   2 :   Gi                 3   3   2   2  2  17   32   6   9   24   (1)  2   4   9   2   9   9   1   (2)  x   y   x   y   x   y  y   x   x   y   x   x   y                                                          ( Thi th    )  Bài gi          4  2   9   0  x  y   x                       (*)     Khai thác phương tr        tìm h        c    x   và   y  (s    d    phương pháp hàm s              f   u   f   v    )     3   3   2   2  17   32   6   9   24 x   y   x   y   x   y                      3   2   3   2  18   42 7   32 6   9 1 x   x   y   y y x                [T                             3   3  2   2 2   2 5   5 x x   y   y                  (3)     Xét   hàm đ           3   5 f   t   t   t       trên      ta có:        2  '   3   5   0, f   t   t   t                       f   t          Nên:                   3   2   2   1 3   3 f   x   f   y   x   y   y   x                              (4)     Th    (4) vào (2) đ                    2  3   4   9   11   9   10 x   x   x   x   x   x                         (5)         5 x      nên có th    bi       b   liên h                             2  5   3   4   3   4 9   11   2   35 x   x   x   x   x   x                              (Tách thành các bi                          5   5  3 .   9 .   5   7  4   3   11   4  x   x  x   x   x   x  x   x                                       (Nhân liên h              3   9  5   7   0  4   3   11   4  x   x  x   x  x   x                                                

Phương trình và hệ phương trình